[삼각형도심] 일반삼각형 ABC의 도심구하기

토목구조기술사의 기출문제 책자에 나온 문제를 통해 일반삼각형의 단면1차 모멘트를 통해 도심을 구하는 것을 풀어보았습니다. 그리고, 그에 대한 문제 풀이에서 체크해야 할 것들에 대해서 자세히 정리해 봅니다. 차근차근 다양한 정보를 수기로 풀어보고, 공유합니다.

삼각형의 도심을 구하는 Sheet (작성:YangDaddy)

문제 : 삼각형 ABC의 도심을 구하시오. 단, 단위는 m로 한다.

토목구조기술사 제 52회 기출문제이고 10점짜리 문제입니다. 앞으로는 출제가 될 확률이 적지만, 기본적으로 도형의 도심, 단면1차모멘트에 대한 개념을 정리할 수 있는 시간이 될 수 있습니다. 가장 기본적으로 도심의 개념과 단면 1차 모멘트의 개념을 확실히 알고 나서야 풀이과정이 눈에 들어올 것입니다.

도심(Centroids of Areas)

평면 상 면적의 도심(Centroid) 위치는 단면의 중요한 기하학적 성질입니다. 도심의 좌표를 정의하기 위해, 이해해야 하는 수학적인 의미가 있습니다. 아래 그림처럼 면적 A와 xy 좌표계를 생각하면 됩니다.

면적 A의 도심 C (그림:YangDaddy)

도심의 수학적 의미를 찾는다면 상당히 원론적인 문제로 접근이 가능합니다. 이 부분은 별도로 정리가 필요할 것 같습니다.

일반적 삼각형 면적 구하기

우선 삼각형의 도심을 구하기 위해서는 일반적인 삼각형의 면적을 구할 수 있어야 합니다. 삼각형의 면적을 구하는 공식은 "A=1/2x밑변x높이"입니다. 이 역시 기준이 되는 x축이 수평일 때만 가능한 것입니다. 이를 일반적으로 쉽게 풀이하기 위해서 삼각형을 쪼개고 쪼개서 A0, A1, A2, A3를 만들어서 면적을 구하는 것입니다.

A=A0-A1-A2-A3가 의미하는 것 (단순화)

면적을 구하는 것은 x축이 수평인 삼각형의 공식 하나를 가지고 일반적인 삼각형의 면적을 구하는 것이 포인트입니다.

모든 문제에 있어서 가장 단순하게 생각해서 풀이를 하는 것이 이해하기도 쉽고 응용하기도 쉬운 법입니다.

삼각형의 도심을 구하는 Sheet (작성:YangDaddy)

삼각형 각각의 면적과 도심구하기

그림의 맨 위쪽에는 각각 삼각형의 면적과 도심을 구하고 있습니다. 삼각형 구하는 공식인 "A=1/2x밑변x높이"와 xi, yi의 도심 1/3, 2/3의 사실을 가지고 각각의 도심을 숫자로 구하는 것을 적어보았습니다. 결국 가장 중요한 것은 기준점에서 얼마나 떨어졌는냐가 관건입니다. 그 기준점에 따라서 각각의 값들이 결정이 됩니다.

삼각형의 도심을 구하는 Sheet (작성:YangDaddy)

삼각형 도심산정

Gx, Gy라는 단면1차모멘트를 이용해서 각각의 Xc, Yc를 구할 수 있습니다. 공식은 거의 암기를 해야 하지만, 궁금한 것은 단면1차모멘트의 의미입니다.

단면1차모멘트의 의미

수학적 의미

사전적인 의미의 단면1차모멘트는 축으로부터 도심점까지의 거리에 면적을 곱한 것을 말합니다. 이는 평면 도형의 도심을 구하기 위해서 사용됩니다. 임의 형상의 단면에 대해서, 미소 면적 dA를 생각하고, 데카르트 좌표축으로부터 미소면적 도심까지 거리를 곱한 다음 전체 면적에 대해 적분을 하면 단면 1차 모멘트 (G)가 됩니다. 단면 1차 모멘트는 축의 위치에 따라 양의 값을 가질수도, 음의 값을 가질 수도 있습니다.

공학적 의미

면젹의 기하학적 모멘트 개념은 공학 및 구조해석, 특히 고체역학 및 구조공학분야의 기본 개념 중 하나입니다. 이는 주어진 영역에서 재료의 분포를 설명하는데 사용되며 중심결정, 다양한 기계적 특
성 계산, 외부하중에 대한 구조물의 반응 분석에 중요한 역할을 합니다.

단면1차모멘트는 특정 축에 대한 단면의 모멘트를 의미합니다.

먼저, 모멘트란 회전을 일으키는 힘의 효과를 나타내는 물리량입니다. 간단한 예로, 문 손잡이를 잡고 문을 열 때 손잡이를 중심으로 회전하는 힘이 모멘트라고 볼 수 있습니다. 단면 1차 모멘트는 특정 축에 대한 단면의 모멘트를 의미합니다. 일반적으로 빔이나 기둥과 같은 구조요소의 단면에 대한 힘의 분포와 관련이 있습니다. 구조물의 응력분포, 변형 및 안정성 분석에 큰 영향을 미칩니다.

최종정답